東大入試問題で
数学的思考を磨く本
■著者／京極一樹
■本体価格／1500円
■発 行 2013年8月
■ISBN ISBN978-4-86059-130-4
■判 型 四六判
■ページ 247ページ
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あなたの"数学脳"を磨く厳選43題に挑戦！良問が多い東大入試問題のなかから、読者の数学的思考力アップに役立つ問題をピックアップ。目からウロコの発想。思わずうなる論証…etc.読むだけで数学的思考が磨かれます。
1章 中学生レベルでも解ける問題
1 円周率の意味がわかれば解ける…
「円周率＞3.05」を証明せよという問題……………12
2 内容的には中学入試問題よりも簡単か？…
『コマ大数学科』で出題された50年前の問題… …20
3 当たり前に思えることをどう証明するか
東大入試史上もっとも簡単といわれた問題… ……22
4 ピタゴラスの定理で解くか重心で解くか…
中学生でも解ける？ 空間図形の問題… ……………25
■入試問題に図が少ない理由… …………………………30
2章 高校で習う初歩的知識で解ける問題
●２次方程式と２次関数… ………………………………32
1 三角関数と不等式・領域がわかれば解ける…
教科書レベルの典型問題… ………………………… 38
2 座標平面にある座標はすべて実数！…
近年もっとも簡単と言われた問題……………………41
3 図が描けて円の方程式が書ければ解ける…
円のやさしい問題… ……………………………………44
4 図が描ければ解ける
回転角と整数の問題……………………………………48
C O N T E N T S
東大入試問題で数学的思考を磨く本
5 長文問題の中には驚くほど簡単な問題がある…
円の円周 ・ 長さと数列の問題… ……………………52
6 同じ記号が続くかどうかで確率が変わる
あまりに簡単な確率の問題……………………………56
3章 分析力を鍛える確率の問題
● 確率問題は何を求めているのか… …………………62
1 出目と余りの関係を分析する…
サイコロと割り算と数列の問題………………………70
2 出目の積と約数の関係を分析する…
サイコロと約数と数列の問題…………………………76
3 ブロックをm個積むとは何を意味するのか
「m回続けて成功する確率」の問題…………………80
4 すべて色がそろうにはどんなことが必要か
「n回目に初めて成功する確率」の問題… …………84
5 奇偶での配置の違いに気がつくか
めずらしく図があるマルコフ過程の問題……………90
4章 発想力を求めるグラフと図形の問題
● グラフと図形の問題は何を求めているのか… ……96
1 解けるなら簡単な方がいい！…
…頻出「相加平均≧相乗平均」で解ける問題……… 120
2 状況分析は慎重に！
相加平均≧相乗平均では解けない問題… ……… 122
3 いろんな解法に挑戦しよう！…
角度をあつかう正三角形の問題… ……………… 128
4 かならずしも角度が出ると思うな…
三角関数の振幅の問題…………………………… 138
5 幾何では解けない問題を三角関数で解く
正弦定理と余弦定理を組み合わせる問題… …… 141
6 余弦定理以外の三角関数を発想せよ！
長さの2乗を使うと解けない問題… ……………… 144
7 ベクトルは角度に強い！…
図形の角度にベクトルの内積を使う問題……… 150
8 ベクトル問題の稀代の名問：…
内分点にベクトルを使う問題……………………… 153
5章 論証力を問う整数問題
● 整数問題は何を求めているのか… ……………… 162
1 2桁整数は10a+b、
3桁整数は100a+10b+cで考える……………… 166
2 連続する整数には共通因数はない！
「隣り合う整数は互いに素」で解く問題… ……… 172
3 想像力が問われる新記号問題は…
ふつうの数との関係をどう表すかが課題… …… 178
4 方程式の数が未知数の数より少なくとも…
整数解なら得られる… ……………………………… 182
6章 試行錯誤と予測を楽しむ微積分の問題
● 微積分の問題は何を求めているのか… ………… 190
［文系微積分］
1 文系微積分は基礎知識の確認…その１…
図が描ければ解ける積分の問題… ……………… 206
2 文系微積分は基礎知識の確認…その２…
図さえ不要の簡単な積分の問題… ……………… 208
3 文系問題でも場合分けはキビシイ！
それさえわかれば容易な積分の問題… ………… 210
［理系微積分］
4 垂線の長さの公式は覚えていますか？
円の中心と弦による三角形の面積の問題… …… 216
5 視点のダイナミックな切り替えが必要！
縦横を切り換えると非常に簡単な問題… ……… 221
6 これぞ計算問題、うまい置き換えが重要！
むずかしそうで非常にやさしい定積分の問題…… 226
7 文章題から立体イメージが想像できるか…
空間想像力を試す体積の問題… ………………… 230
8 理系頻出、起きる現象が想像できるか…
回転体の体積を求めるやさしい問題… ………… 236
9 断面積をどうやって求めるかが鍵…
回転体の体積を求める稀代の名問… …………… 240
索引……………………………………………………………… 246
▶︎著者略歴
京極 一樹（きょうごく かずき）
1955 年生まれ。東京大学理学部物理学科卒。サラリーマンを 経た後、理工書の著作を長年にわたって行ってきた。読者が求 める情報や知識を、豊富な図解をまじえてわかりやすく解説す ることを信条とする。 主な著書に『中学・高校数学のほんとうの使い道』『中学・高 校物理のほんとうの使い道』『統計・確率のほんとうの使い道』 『中学・高校化学のほんとうの使い道』『うまく・早く・きれい に問題を解く数学再入門』『計算脳がパワーアップする算数入 門』『電池の「なぜ？」がわかると未来が見える』（以上、実業 之日本社刊）、『こんなにわかってきた素粒子の世界』『こんな にわかってきた宇宙の姿』『電池が一番わかる』（以上、技術評 論社刊）、『太陽電池のしくみ』『はやぶさのしくみ』『宇宙と素 粒子のしくみ』（以上、アスキーメディアワークス刊）などが ある。